Delta機器人關節空間軌跡規劃法
3.4 delta機器人關節空間軌跡規劃法
研究發現，在機器人的軌跡規劃中加入動力學模型進行軌跡優化，得到的運動控制 擬合曲線能夠極大地提高機器人的運行速度和穩定性。由于運動學與動力學模型相結合 的軌跡規劃是基于理想系統模型的分析，所以不會增加系統的硬件成本，它是快速、高 效提高系統性能的一個有效手段，在delta機器人的軌跡規劃中，將會把動力學模型加 入到軌跡規劃中來。
具體實現如下：
建立系統的運動學模型和動力學模型；
根據delta機器人的運行軌跡要求進行軌跡規劃；
針對優化目標（運行速度、關鍵部件受力等）實現軌跡優化。
3.4.1工作空間關鍵點的選取
在delta機器人的運行過程中，不僅要抓取和釋放物體，還要避開障礙物。為了實 現抓取、釋放以及中間轉運階段中，物體始終保持在末端執行器上，抓取和釋放物體階 段要保證末端執行器平穩，對于delta機器人而言，要盡量減小末端執行器水平方向的 抖動，并且在豎直方向應實現平穩的加減速；在中間轉運階段中，應增大末端執行器的 拐彎半徑，并且在水平擬合曲線段，應盡量減小豎直方向的抖動，水平加減速應平穩。這樣就必須確定物體抓取、釋放的位置以及末端執行器經過的空間軌跡關鍵點。
在關節空間的軌跡規劃中，分別選取了 8、9、11個工作空間關鍵點，由8、11個工 作空間關鍵點擬合得到的工作空間內的擬合曲線如圖3-9所示。如圖可知，由8個工作 空間關鍵點擬合得到的工作空間內的擬合曲線有較大的拐彎半徑，中間轉運階段擬合曲 線豎直方向抖動較小，但抓取和釋放物體時水平方向的抖動較大，可能會引起抓取和釋 放物體位置不準確以及抓取和釋放過程中物體抖動，抖動較大時物體甚至脫離末端執行 器。觀察發現，在8個工作空間關鍵點的豎直抓取和釋放階段中，擁有3個工作空間關 鍵點的豎直方向的擬合曲線比擁有2個工作空間關鍵點的豎直方向的擬合曲線水平方 向的抖動更小，由此，得到了 3個工作空間關鍵點確定一條抖動較小的直線段的結論。 為了改善8個工作空間關鍵點存在的缺點，采用9個工作空間關鍵點進行曲線擬合，由 得到的工作空間的擬合曲線知（圖中未表示），由9個工作空間關鍵點擬合得到的工作 空間內的擬合曲線水平方向的抖動較8個工作空間關鍵點擬合得到的工作空間內的擬 合曲線水平方向的抖動有所減小，同時，中間轉運階段擬合曲線豎直方向抖動也有所較 小，但拐彎半徑也較小，拐彎過程沒有較好的曲線過渡，這將會使得末端執行器拐彎困 難，過于剛性的拐彎會引起對機構的沖擊，減少機器人的使用壽命，并可能會導致被抓 取物體的破壞或脫落。
因此，在抓取和釋放物體的豎直直線段部分和中間轉運階段的水平直線段部分各選取3個工作空間關鍵點，為了增加末端執行器的拐彎半徑，在兩個拐彎處各添加1個拐彎半徑控制關鍵點，這樣就得到了由11個工作空間關鍵點擬合得到的工作空間內的擬合曲線。調節這2個工作空間拐彎半徑控制關鍵點的位置，不僅可以增加或減小末端執行器的拐彎半徑，還可以增加或減小抓取和釋放物體階段末端執行器的水平方向的抖動，于此同時，減小或增加中間位置豎直方向的抖動。根據delta機器人的工作需求，應適 量增加末端執行器的拐彎半徑，與此同時，減小抓取和釋放物體時末端執行器的水平方 向的抖動。在圖3-9中，由11個工作空間關鍵點的擬合曲線可知，末端執行器在抓取和 釋放物體的豎直擬合曲線段水平方向的抖動較小，在中間轉運擬合曲線段豎直方向稍有 抖動，兩個拐彎半徑較大。可知，利用11個工作空間關鍵點得到的控制擬合曲線具有 良好的物體抓取和釋放性能以及中間轉運性能。
3.4.2關節空間運動學五次樣條函數模型
由以上分析可知，五次樣條函數可以得到單段連續可導的位移、速度、加速度、加 加速度擬合曲線，但多段擬合曲線之間連接處，只有位移是連續可導的，速度連續不可 導，加速度、加加速度等出現跳躍，如果能夠解決擬合曲線關鍵點連接處的跳躍問題， 就可以得到多段連續可導的位移、速度、加速度、加加速度擬合曲線，這將非常有利于 提尚delta機器人的控制性能。
該五次樣條函數數學模型如公式（3-6)所不，其中/〇)，/(x)，/(x)，/(x)，/(x)， 分別表示關節空間內關節角位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一階導數， x表示每段擬合曲線段首尾的時間差。
為了使每段關節空間內關節角位移、速度、加速度、加加速度的擬合曲線在關鍵點 連接處連續可導，需要建立合理的邊界條件。delta兩自由度高速并聯工業機器人有兩 個驅動關節輸入量，現只對左驅動關節的邊界條件進行闡述，右驅動關節的邊界條件與 左驅動關節相同，不同之處在于，由11個工作空間關鍵點經過運動學逆解轉換得到的 關節空間內的11關鍵點的數值不同。根據已經給定的左驅動關節的已知量和每段擬合 曲線的邊界條件建立如下方程式。
擬合曲線0*方程式：
系數矩陣ai/rw,通過計算得到了左驅動關節擬合曲線的系數矩陣a,即得到了 左驅動關節從關鍵點0到關鍵點10的擬合曲線，同理可得到左驅動關節從關鍵點10到 關鍵點0的擬合曲線，右驅動關節的曲線擬合方法與左驅動關節類似，這里不再贅述。
3.4.3動力學軌跡優化模型
在第一章緒論中己經提到了同濟大學的李萬莉等人，采用五次樣條函數對機器人進 行軌跡規劃，但其約束條件過多，導致了關鍵點連接處擬合曲線的速度、加速度、加加 速度不可導的問題，上一小節的“運動學五次樣條函數模型”已經成功解決了這一問題， 但李萬莉等人的軌跡規劃還存在一些缺點，也是很多軌跡規劃論文存在的問題，即沒有 進行動力學的軌跡優化，這樣會導致一個工作循環內驅動電機力矩、功率的峰值大小相 差較大，在驅動電機確定的情況下，這將不利于提高機器人的運行速度和精度，換句話 說，驅動電機的動力學性能沒有*的發揮出來。為了使得delta機器人具有良好的動 力學性能，在delta機器人軌跡規劃過程中，加入了第二章所述的動力學模型。
將動力學模型加入到軌跡規劃中的主要目的是，在不改變機器人機械結構尺寸的情 況下，盡量降低機器人所需驅動電機的力矩和功率。這樣，在不更換己有驅動電機的情 況下，就可以提高機器人整體的運行速度和精度。
公式（3-12)說明了，外力矩是驅動關節角位移、速度和加速度的函數。因為/(x), /(x), /(x)是時間的函數，由此，推導出廣義關節作用力r和功率/^也是時間的函數, 公式（3-12)是驅動力矩的動力學時間方程。在得到動力學的時間方程后，選擇關節空 間內角速度（一個工作循環的時間作為動力學的優化目標。
進行動力學軌跡優化的目標有兩個：一是在不增加驅動力矩和功率的情況下，盡量 縮短一個工作循環的周期，即驅動電機確定，盡量增加機器人的運行速度；二是在不改 變一個工作循環周期的情況下，盡量降低驅動力矩和功率，即在機器人的運行速度不變 的情況下，盡量降低所需驅動電機的力矩和功率。在大多數情況下，純粹對時間周期的 優化幾乎不能求解，因此，將時間周期設為常數1,即機器人運行一個循環所需時間是 1秒鐘，并將驅動電機的力矩和功率作為動力學優化的目標。
一般情況下，功率的優化和力矩的優化是互相矛盾的，即將力矩優化到數值， 可能會導致功率過大；反之，將功率優化到數值，可能會導致力矩過大。在進行驅 動電機力矩和功率的動力學優化時，需要結合實際的電機參數選取力矩占優還是功率占 優的方式進行動力學優化，并且，在動力學優化過程中，電機的力矩占優還是功率占優 是不斷變化的。例如，當機器人開始運行時，由于驅動電機的速度很小，導致驅動電機 的功率很小，相反，為了提高機器人的運行速度、減小每次循環的時間周期，機器人的 驅動電機將以較大的峰值力矩啟動，這時驅動電機的峰值力矩將作為動力學優化的主要 目標，即應盡量減小機器人開始運行時的峰值力矩，并使得力矩維持在峰值；當機器人 高速運行時，由于驅動電機的速度很高，導致驅動電機的功率很大，此時，驅動電機的 力矩可能會較小，為了提高機器人的運行速度，此時，驅動電機的功率將作為動力學優 化的主要目標，即應盡量減小驅動電機的峰值功率，并使得機器人高速運行時，驅動電 機的輸出功率基本維持在峰值。
delta機器人軌跡規劃流程如圖3-10所示，其中，判斷1為得到的關節空間內擬合 曲線的關節角位移、速度是否沒有過沖，速度、加速度、加加速度擬合曲線峰值是否相 差較小；判斷2為得到的關節驅動力矩峰值和功率峰值是否相差較小，為了充分利用驅 動電機的性能，應盡量降低每個擬合曲線段內的關節驅動力矩或驅動功率的峰值，并盡 量使驅動力矩或驅動功率維持在峰值附近。以上判別量都是時間的函數，修改每段擬合 曲線的時間即可對運動學和動力學的擬合曲線進行整體優化。
3.4.4軌跡規劃曲線分析
根據關節空間內delta機器人的運動學五次樣條函數模型和動力學的軌跡優化模型，
編寫機器人的python軌跡規劃程序，得到的擬合曲線如圖3-11, 3-12, 3-13所示。
圖3-11中，左右紅色和綠色擬合曲線分別為左驅動關節和右驅動關節運動學擬合 曲線，由上至下分別表示驅動關節角位移、速度、加速度和加加速度擬合曲線，由圖可 以看出，利用以上運動學五次樣條函數模型和動力學軌跡優化模型，得到的delta機器 人的關節空間內擬合曲線的角位移、速度、加速度和加加速度擬合曲線均連續可導，遏 制了由于擬合曲線跳躍而出現機器人振動，甚至共振現象的發生。左右驅動關節的速度 大小均小于8rad/■s■，加速度大小均小于180rafif/52，加加速度大小均小于6000rad//, 速度、加速度、加加速度峰值相差較小，得到的擬合曲線有利于delta機器人實際控制。
圖3-12為關節空間擬合曲線通過運動學正解轉換到得到的工作空間擬合曲線，左 邊紅色擬合曲線由上至下分別為末端執行器x方向的位移、速度、加速度擬合曲線，右 邊綠色擬合曲線由上至下分別為末端執行器y方向的位移、速度、加速度擬合曲線，從 圖中可以看出，末端執行器的位移、速度和加速度擬合曲線均連續可導，可有效減小機 器人末端執行器的振動，并提高其運行速度。末端執行器x方向的速度、加速度大小分 別小于3.2m/x、70m/?，并且，x方向的速度有較長時間維持在峰值附近，這將非常 有利于提高機器人的實際運行速度；；y方向的速度、加速度大小分別小于s.om/s、60 mis1。
利用delta機器人簡化的動力學模型，對機器人的運動學軌跡規劃擬合曲線進行相 關動力學優化，降低所需驅動電機的峰值力矩和峰值功率，力求每個驅動電機的峰值力 矩、峰值功率大小分別趨于同一數值，并使其維持在峰值附近是動力學優化的終目標。 參考使用的高精度交流伺服直驅力矩電機的基本參數，把力矩優化作為動力學優化的主 要目標，功率優化作為動力學優化的次要目標。圖3-13為動力學優化后的所需驅動電機 力矩和功率擬合曲線，左側紅色擬合曲線由上至下分別為左驅動電機的力矩擬合曲線和 功率擬合曲線，由圖可以看出擬合曲線的峰值力矩大小小于70w*m，峰值功率大小小 于480vv;右側綠色擬合曲線由上至下分別為右驅動電機的力矩擬合曲線和功率擬合曲 線，由圖中可以看出擬合曲線的峰值力矩大小小于80w_m,峰值功率大小小于500vv。 左右驅動電機的力矩擬合曲線均連續可導，并且兩驅動電機的力矩峰值大小相差較小； 左右驅動電機的功率擬合曲線為取值后得到的擬合曲線，實際上，在取值之前, 左右驅動電機的功率擬合曲線也是連續可導的擬合曲線，并且兩擬合曲線的峰值相差較小，綠色右驅動電機的擬合曲線有較長時間維持在峰值附近，電機的功率得到了充分的利用。
本文采摘自“高速并聯工業機械手臂分析設計與實現”，因為編輯困難導致有些函數、表格、圖片、內容無法顯示，有需要者可以在網絡中查找相關文章！本文由伯特利數控整理發表文章均來自網絡僅供學習參考，轉載請注明！
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研究發現，在機器人的軌跡規劃中加入動力學模型進行軌跡優化，得到的運動控制 擬合曲線能夠極大地提高機器人的運行速度和穩定性。由于運動學與動力學模型相結合 的軌跡規劃是基于理想系統模型的分析，所以不會增加系統的硬件成本，它是快速、高 效提高系統性能的一個有效手段，在delta機器人的軌跡規劃中，將會把動力學模型加 入到軌跡規劃中來。
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3.4.1工作空間關鍵點的選取
在delta機器人的運行過程中，不僅要抓取和釋放物體，還要避開障礙物。為了實 現抓取、釋放以及中間轉運階段中，物體始終保持在末端執行器上，抓取和釋放物體階 段要保證末端執行器平穩，對于delta機器人而言，要盡量減小末端執行器水平方向的 抖動，并且在豎直方向應實現平穩的加減速；在中間轉運階段中，應增大末端執行器的 拐彎半徑，并且在水平擬合曲線段，應盡量減小豎直方向的抖動，水平加減速應平穩。這樣就必須確定物體抓取、釋放的位置以及末端執行器經過的空間軌跡關鍵點。
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因此，在抓取和釋放物體的豎直直線段部分和中間轉運階段的水平直線段部分各選取3個工作空間關鍵點，為了增加末端執行器的拐彎半徑，在兩個拐彎處各添加1個拐彎半徑控制關鍵點，這樣就得到了由11個工作空間關鍵點擬合得到的工作空間內的擬合曲線。調節這2個工作空間拐彎半徑控制關鍵點的位置，不僅可以增加或減小末端執行器的拐彎半徑，還可以增加或減小抓取和釋放物體階段末端執行器的水平方向的抖動，于此同時，減小或增加中間位置豎直方向的抖動。根據delta機器人的工作需求，應適 量增加末端執行器的拐彎半徑，與此同時，減小抓取和釋放物體時末端執行器的水平方 向的抖動。在圖3-9中，由11個工作空間關鍵點的擬合曲線可知，末端執行器在抓取和 釋放物體的豎直擬合曲線段水平方向的抖動較小，在中間轉運擬合曲線段豎直方向稍有 抖動，兩個拐彎半徑較大。可知，利用11個工作空間關鍵點得到的控制擬合曲線具有 良好的物體抓取和釋放性能以及中間轉運性能。
3.4.2關節空間運動學五次樣條函數模型
由以上分析可知，五次樣條函數可以得到單段連續可導的位移、速度、加速度、加 加速度擬合曲線，但多段擬合曲線之間連接處，只有位移是連續可導的，速度連續不可 導，加速度、加加速度等出現跳躍，如果能夠解決擬合曲線關鍵點連接處的跳躍問題， 就可以得到多段連續可導的位移、速度、加速度、加加速度擬合曲線，這將非常有利于 提尚delta機器人的控制性能。
該五次樣條函數數學模型如公式（3-6)所不，其中/〇)，/(x)，/(x)，/(x)，/(x)， 分別表示關節空間內關節角位移、速度、加速度、加加速度以及加加速度的一階導數， x表示每段擬合曲線段首尾的時間差。
為了使每段關節空間內關節角位移、速度、加速度、加加速度的擬合曲線在關鍵點 連接處連續可導，需要建立合理的邊界條件。delta兩自由度高速并聯工業機器人有兩 個驅動關節輸入量，現只對左驅動關節的邊界條件進行闡述，右驅動關節的邊界條件與 左驅動關節相同，不同之處在于，由11個工作空間關鍵點經過運動學逆解轉換得到的 關節空間內的11關鍵點的數值不同。根據已經給定的左驅動關節的已知量和每段擬合 曲線的邊界條件建立如下方程式。
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3.4.3動力學軌跡優化模型
在第一章緒論中己經提到了同濟大學的李萬莉等人，采用五次樣條函數對機器人進 行軌跡規劃，但其約束條件過多，導致了關鍵點連接處擬合曲線的速度、加速度、加加 速度不可導的問題，上一小節的“運動學五次樣條函數模型”已經成功解決了這一問題， 但李萬莉等人的軌跡規劃還存在一些缺點，也是很多軌跡規劃論文存在的問題，即沒有 進行動力學的軌跡優化，這樣會導致一個工作循環內驅動電機力矩、功率的峰值大小相 差較大，在驅動電機確定的情況下，這將不利于提高機器人的運行速度和精度，換句話 說，驅動電機的動力學性能沒有*的發揮出來。為了使得delta機器人具有良好的動 力學性能，在delta機器人軌跡規劃過程中，加入了第二章所述的動力學模型。
將動力學模型加入到軌跡規劃中的主要目的是，在不改變機器人機械結構尺寸的情 況下，盡量降低機器人所需驅動電機的力矩和功率。這樣，在不更換己有驅動電機的情 況下，就可以提高機器人整體的運行速度和精度。
公式（3-12)說明了，外力矩是驅動關節角位移、速度和加速度的函數。因為/(x), /(x), /(x)是時間的函數，由此，推導出廣義關節作用力r和功率/^也是時間的函數, 公式（3-12)是驅動力矩的動力學時間方程。在得到動力學的時間方程后，選擇關節空 間內角速度（一個工作循環的時間作為動力學的優化目標。
進行動力學軌跡優化的目標有兩個：一是在不增加驅動力矩和功率的情況下，盡量 縮短一個工作循環的周期，即驅動電機確定，盡量增加機器人的運行速度；二是在不改 變一個工作循環周期的情況下，盡量降低驅動力矩和功率，即在機器人的運行速度不變 的情況下，盡量降低所需驅動電機的力矩和功率。在大多數情況下，純粹對時間周期的 優化幾乎不能求解，因此，將時間周期設為常數1,即機器人運行一個循環所需時間是 1秒鐘，并將驅動電機的力矩和功率作為動力學優化的目標。
一般情況下，功率的優化和力矩的優化是互相矛盾的，即將力矩優化到數值， 可能會導致功率過大；反之，將功率優化到數值，可能會導致力矩過大。在進行驅 動電機力矩和功率的動力學優化時，需要結合實際的電機參數選取力矩占優還是功率占 優的方式進行動力學優化，并且，在動力學優化過程中，電機的力矩占優還是功率占優 是不斷變化的。例如，當機器人開始運行時，由于驅動電機的速度很小，導致驅動電機 的功率很小，相反，為了提高機器人的運行速度、減小每次循環的時間周期，機器人的 驅動電機將以較大的峰值力矩啟動，這時驅動電機的峰值力矩將作為動力學優化的主要 目標，即應盡量減小機器人開始運行時的峰值力矩，并使得力矩維持在峰值；當機器人 高速運行時，由于驅動電機的速度很高，導致驅動電機的功率很大，此時，驅動電機的 力矩可能會較小，為了提高機器人的運行速度，此時，驅動電機的功率將作為動力學優 化的主要目標，即應盡量減小驅動電機的峰值功率，并使得機器人高速運行時，驅動電 機的輸出功率基本維持在峰值。
delta機器人軌跡規劃流程如圖3-10所示，其中，判斷1為得到的關節空間內擬合 曲線的關節角位移、速度是否沒有過沖，速度、加速度、加加速度擬合曲線峰值是否相 差較小；判斷2為得到的關節驅動力矩峰值和功率峰值是否相差較小，為了充分利用驅 動電機的性能，應盡量降低每個擬合曲線段內的關節驅動力矩或驅動功率的峰值，并盡 量使驅動力矩或驅動功率維持在峰值附近。以上判別量都是時間的函數，修改每段擬合 曲線的時間即可對運動學和動力學的擬合曲線進行整體優化。
3.4.4軌跡規劃曲線分析
根據關節空間內delta機器人的運動學五次樣條函數模型和動力學的軌跡優化模型，
編寫機器人的python軌跡規劃程序，得到的擬合曲線如圖3-11, 3-12, 3-13所示。
圖3-11中，左右紅色和綠色擬合曲線分別為左驅動關節和右驅動關節運動學擬合 曲線，由上至下分別表示驅動關節角位移、速度、加速度和加加速度擬合曲線，由圖可 以看出，利用以上運動學五次樣條函數模型和動力學軌跡優化模型，得到的delta機器 人的關節空間內擬合曲線的角位移、速度、加速度和加加速度擬合曲線均連續可導，遏 制了由于擬合曲線跳躍而出現機器人振動，甚至共振現象的發生。左右驅動關節的速度 大小均小于8rad/■s■，加速度大小均小于180rafif/52，加加速度大小均小于6000rad//, 速度、加速度、加加速度峰值相差較小，得到的擬合曲線有利于delta機器人實際控制。
圖3-12為關節空間擬合曲線通過運動學正解轉換到得到的工作空間擬合曲線，左 邊紅色擬合曲線由上至下分別為末端執行器x方向的位移、速度、加速度擬合曲線，右 邊綠色擬合曲線由上至下分別為末端執行器y方向的位移、速度、加速度擬合曲線，從 圖中可以看出，末端執行器的位移、速度和加速度擬合曲線均連續可導，可有效減小機 器人末端執行器的振動，并提高其運行速度。末端執行器x方向的速度、加速度大小分 別小于3.2m/x、70m/?，并且，x方向的速度有較長時間維持在峰值附近，這將非常 有利于提高機器人的實際運行速度；；y方向的速度、加速度大小分別小于s.om/s、60 mis1。
利用delta機器人簡化的動力學模型，對機器人的運動學軌跡規劃擬合曲線進行相 關動力學優化，降低所需驅動電機的峰值力矩和峰值功率，力求每個驅動電機的峰值力 矩、峰值功率大小分別趨于同一數值，并使其維持在峰值附近是動力學優化的終目標。 參考使用的高精度交流伺服直驅力矩電機的基本參數，把力矩優化作為動力學優化的主 要目標，功率優化作為動力學優化的次要目標。圖3-13為動力學優化后的所需驅動電機 力矩和功率擬合曲線，左側紅色擬合曲線由上至下分別為左驅動電機的力矩擬合曲線和 功率擬合曲線，由圖可以看出擬合曲線的峰值力矩大小小于70w*m，峰值功率大小小 于480vv;右側綠色擬合曲線由上至下分別為右驅動電機的力矩擬合曲線和功率擬合曲 線，由圖中可以看出擬合曲線的峰值力矩大小小于80w_m,峰值功率大小小于500vv。 左右驅動電機的力矩擬合曲線均連續可導，并且兩驅動電機的力矩峰值大小相差較小； 左右驅動電機的功率擬合曲線為取值后得到的擬合曲線，實際上，在取值之前, 左右驅動電機的功率擬合曲線也是連續可導的擬合曲線，并且兩擬合曲線的峰值相差較小，綠色右驅動電機的擬合曲線有較長時間維持在峰值附近，電機的功率得到了充分的利用。
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