梯形花鍵滾刀及其齒頂圓弧的設計
摘要：介紹了一種可滾切齒根帶有定值圓角且齒根圓直徑有公差要求的梯形花鍵的滾刀設計方法。
圖1 七齒梯形花鍵
1 問題的提出我公司向美國用戶提供的多種oem 樣件常因非漸開線花鍵齒根圓角半徑達不到要求而無法得到批量供貨訂單。對于一些需要滾齒加工的零件，由于齒根圓角的加工問題無法解決，不得不以昂貴的價格從國外進口刀具。如加工圖1 所示的七齒梯形花鍵，其中ra=59.728mm，rf=50.419±0.125mm，rh=53.34mm，sh=22.504mm，ri=1.575±0.25mm，e=1.709mm，b=16.85°，h=28.15°，rf=42.742mm。若用按常規滾刀設計方法設計的滾刀進行加工，當工件齒根圓直徑取中差時，齒根圓角僅為1.03mm，不能滿足用戶要求。為此，本文介紹一種新的滾刀設計方法，用該方法設計的滾刀可滾切加工齒根帶有定值圓角且齒根圓直徑有公差要求的梯形花鍵。 2 設計原理滾刀加工梯形花鍵的過程實質上是滾刀與梯形花鍵展成嚙合的過程。因此，設計梯形花鍵滾刀時應遵循嚙合原理。為使問題簡化，我們按平面嚙合原理來設計滾刀。 3 梯形花鍵滾刀的設計方法節圓半徑的確定 與直邊花鍵或三角花鍵滾刀的設計方法相同，梯形花鍵滾刀的設計也應首先確定合理的工件節圓半徑。如節圓半徑選取不當，則可能造成工件齒頂切不出來或工件齒根過渡曲線太高的問題。對于齒頂有倒角的梯形花鍵，其節圓半徑應按下式計算： rj=ra-e (1)
式中：rj——工件節圓半徑 ra——工件齒頂圓半徑 e——倒角沿齒側直線方向的長度 計算出的節圓半徑應滿足ra≥rj≥rf，為防止工件齒頂切不出來，rj應滿足 rj≥ (ra2-0.72)½式中，a為工件形圓半徑，a=rf'sine，rf'和e分別為工件理論內徑半徑和工件齒槽半角。工件齒槽半角e=(p/z)+h，z 和h分別為工件的齒數和齒厚半角。 工件直線部分對應的滾刀齒形設計 工件直線部分對應的滾刀齒形設計方法與常規方法相似，不同的是zui大嚙合角應按工件直線齒形終點半徑計算，而不是按工件齒根圓半徑計算，這是因為滾刀齒頂部分增加了圓角的緣故。
圖2
工件直線齒形對應的嚙合線上點的坐標 如圖2所示，建立工件坐標系xoy及滾刀坐標系x0py0。圖中p為嚙合節點，m為嚙合線上的任意點，ax為m點的嚙合角。從圖中可推導出，當工件轉過f角后，m點的坐標為 { xm=-rj(sinax-sinaj)cosax
ym=rj-rj(sinax-sinaj)sinax
(2)
式中，aj為工件節圓上的齒形角，aj=arcsin( a/rj)。式(2)即為嚙合線方程。 由圖2還可得到m點的半徑為 rm=om=(xx2+yx2)½將式(2)代入上式整理后得 rm=rj(1+sin2aj-sin2ax)½ (3)
將上式變換后可得 cosax=[(rm/rj)2-sin2aj]½ (4)
在圖1中，設h點為已知弦長的圓與工件齒側直線的交點，f點為工件直線齒形的終點(亦稱轉變點)。利用式(4)和式(2)就可得出與f點和h點對應的嚙合線上點的坐標(xh，yh)和(xf，yf)以及af。 由嚙合線上的點求滾刀齒形上的對應點 由嚙合原理可知，當工件轉過f角后，滾刀同時移動了距離rjf，由此可求出與嚙合線上任意點m對應的滾刀齒形上的m0點在x0py0坐標系中的坐標為 { x0m=rjf+xm
y0m=rj-ym
(5)
由圖2可知，f=ax-aj，將式(2)代入式(5)可得 { x0m=rj(ax-aj)-rj(sinax-sinaj)cosax
y0m=rj(sinax-sinaj)sinax
(6)
前面已算出了f點和h點在嚙合線上對應點的坐標，因此可由式(5)或式(6)得到滾刀齒形上對應點f0和h0的坐標(x0f，y0f)和(x0h，y0h)。 由f0點、h0點和p點的坐標可求出替代滾刀齒形的圓弧的中心坐標(xa，ya)及半徑ra。
圖3
加工工件齒根圓角的滾刀齒形設計 滾刀滾切工件時，滾刀的刀尖角必須在工件齒根形成過渡曲線，如將這段過渡曲線近似看作圓弧，則該近似圓弧的半徑往往偏小而達不到加工要求；如果調節節圓半徑，又受到工件齒頂倒角值和齒根轉變點f點直徑的限制，調節幅度有限而效果甚微。 如將滾刀齒頂作成圓角而不是尖角，則效果可大為改觀。此時，在工件齒根形成了過渡曲線的等距線，該等距線的近似圓弧半徑增大了許多。滾刀齒頂圓角半徑的合理取值可通過圖3進行定量分析。由圖3可知 a1=arctan( yof-ya )
xa-xof
(7)
由圖3還可看出 rc(1-sina1)=hao-yof因此可得 rc= hao-yof
1-sina1
(8)
式中，hao為滾刀齒頂高，可按hao=rj-rf進行計算，其中rf為工件齒根圓半徑。a1為中間計算參數，可由式(7)算出。 將式(8)和式(6)加以合并，可得 rc= rj[1-(sinaf-sinaj)sinaf]-rf
1-sina1
(9)
式中，rc為滾刀齒頂圓角半徑，af為f點嚙合角，可將轉變點f 的半徑代入式(4)算出。 由圖3得知，滾刀齒頂圓角的中心點o1的坐標為 { x01=x0f+rccosa1
y01=y0f-rcsina1
(10)
確定了滾刀齒頂圓角的半徑和圓心坐標后，可按以下方法判斷滾刀齒頂是單圓弧還是雙圓弧：設sno為滾刀法向弧齒厚，則sno應等于工件節圓上齒槽所對應的弧長，即sno=2rj(e-aj)。由圖3中可以看出，如x01<sno/2，則滾刀齒頂由兩段圓弧和一條直線構成。
圖4
圖5
工件齒頂倒角部分對應滾刀齒形的設計 如圖4 所示，滾刀上對應于工件齒頂倒角部分的倒角尺寸可按下式計算： { x=p/2-aj-b
h4=[ecos(b+aj)]/cosb
(11)
式中：e——工件齒頂沿齒側直線方向的長度 b——齒頂倒角與齒側直線延長線的夾角 h4——滾刀齒根部倒角到滾刀節線的垂直距離 x——滾刀倒角與滾刀節線的夾角 滾刀其余參數的設計 滾刀其余參數可按常規方法進行設計。但需說明，滾刀法向齒距tn等于工件節圓的周節，即tn=2prj/z，而滾刀長度應與tn一致。4 工件齒根圓角半徑的驗算設計滾刀時，是按工件直線齒形終點f的直徑來確定滾刀齒頂圓角。滾刀齒頂圓角加工出的延伸漸開線的等距線與工件齒根圓的切點d的位置可按以下方法確定。如圖5 所示，建立坐標系x0o0y0，滾刀齒頂圓角的圓心o1在y0軸上，距x0軸的高度為y01=rj-(rf+rc)。同樣，在工件上也建立坐標系x'oy'，在滾刀的初始位置y'軸與y0軸重合。 設b點為延伸漸開線的等距線上的點，當滾刀節線在工件節圓rj上滾動時，o1點的運動軌跡是以y'軸為對稱軸的延伸漸開線，而b0點的運動軌跡為延伸漸開線的等距線。 當滾刀節線繞工件節圓滾動w角，o1點由延伸漸開線的頂點c移到g點，而b點由延伸漸開線的等距線上的d點移動到f點，則w角可按以下計算取值。 由圖5可得到o1點在x'oy'坐標系中的坐標為 { x01'=( rf+rc)sinw-(rjw)cosw
y01'=(rf+rc)cosw+(rjw)sinw
(12)
p2=x01'2+y01'2=(rf+rc)2+(rjw)2由圖5可見oo12=ok2=gk2=(oe+ek)2+fe2，將oe=rjsinaj，ek=rc，fe2=of2-oe2代入上式得 oo12=rf2+rc2+2rjrcsinaj由于p=oo1，故有 rf2+rc2+2ra rjsinaj=(rf+rc)2+(rjw)2則 w= [rf2-rf2+2rc(rf-rjsinaj)]½
rj
(13)
式中，rf為轉變點f的半徑。從圖中可知 tan(w+q)= |xf|
yf
q=arctan( |xf| )-w
yf
(14)
圖6
設圖5中f點關于y'軸對稱的過渡曲線等距線上的點為f'。過f 點、d 點及f'點可作一近似圓弧，現求這一近似圓弧的半徑r'。如圖6所示，oe'=rfcosq，od=rf，故de'=rfcosq-rf，又因fe'=rfsinq，由勾股定理可得 r'= rf2-2rfrfcosq+rf2
2(rfcosq-rf)
(15)
上式計算的r'應在ri要求的公差范圍內，否則必須調整rf或rf重新進行設計。 對于本例的計算，工件齒根圓取中差，滾刀齒頂為尖角時，其工件齒根過渡曲線的近似圓弧半徑為1.03mm；如果滾刀齒頂增加rc=0.373mm的圓角，則形成的過渡曲線的近似圓弧半徑就增大到1.353mm，滿足ri=1.575±0.25mm的要求。 5 結語本文介紹了加工齒根為定值圓角且齒根圓有公差要求的梯形花鍵所用滾刀的設計方法，該方法的關鍵要點在于確定工件直線齒形終點，分別進行直線齒形和過渡曲線的設計，其重點是確定滾刀齒頂圓角半徑的大小。該方法簡便實用，不僅適用于梯形花鍵滾刀的設計，同樣適用于直邊花鍵和三角花鍵等非漸開線滾刀的設計。
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工業純水的超濾設備
在線PPb溶解氧分析儀
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圖1 七齒梯形花鍵
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式中：rj——工件節圓半徑 ra——工件齒頂圓半徑 e——倒角沿齒側直線方向的長度 計算出的節圓半徑應滿足ra≥rj≥rf，為防止工件齒頂切不出來，rj應滿足 rj≥ (ra2-0.72)½式中，a為工件形圓半徑，a=rf'sine，rf'和e分別為工件理論內徑半徑和工件齒槽半角。工件齒槽半角e=(p/z)+h，z 和h分別為工件的齒數和齒厚半角。 工件直線部分對應的滾刀齒形設計 工件直線部分對應的滾刀齒形設計方法與常規方法相似，不同的是zui大嚙合角應按工件直線齒形終點半徑計算，而不是按工件齒根圓半徑計算，這是因為滾刀齒頂部分增加了圓角的緣故。
圖2
工件直線齒形對應的嚙合線上點的坐標 如圖2所示，建立工件坐標系xoy及滾刀坐標系x0py0。圖中p為嚙合節點，m為嚙合線上的任意點，ax為m點的嚙合角。從圖中可推導出，當工件轉過f角后，m點的坐標為 { xm=-rj(sinax-sinaj)cosax
ym=rj-rj(sinax-sinaj)sinax
(2)
式中，aj為工件節圓上的齒形角，aj=arcsin( a/rj)。式(2)即為嚙合線方程。 由圖2還可得到m點的半徑為 rm=om=(xx2+yx2)½將式(2)代入上式整理后得 rm=rj(1+sin2aj-sin2ax)½ (3)
將上式變換后可得 cosax=[(rm/rj)2-sin2aj]½ (4)
在圖1中，設h點為已知弦長的圓與工件齒側直線的交點，f點為工件直線齒形的終點(亦稱轉變點)。利用式(4)和式(2)就可得出與f點和h點對應的嚙合線上點的坐標(xh，yh)和(xf，yf)以及af。 由嚙合線上的點求滾刀齒形上的對應點 由嚙合原理可知，當工件轉過f角后，滾刀同時移動了距離rjf，由此可求出與嚙合線上任意點m對應的滾刀齒形上的m0點在x0py0坐標系中的坐標為 { x0m=rjf+xm
y0m=rj-ym
(5)
由圖2可知，f=ax-aj，將式(2)代入式(5)可得 { x0m=rj(ax-aj)-rj(sinax-sinaj)cosax
y0m=rj(sinax-sinaj)sinax
(6)
前面已算出了f點和h點在嚙合線上對應點的坐標，因此可由式(5)或式(6)得到滾刀齒形上對應點f0和h0的坐標(x0f，y0f)和(x0h，y0h)。 由f0點、h0點和p點的坐標可求出替代滾刀齒形的圓弧的中心坐標(xa，ya)及半徑ra。
圖3
加工工件齒根圓角的滾刀齒形設計 滾刀滾切工件時，滾刀的刀尖角必須在工件齒根形成過渡曲線，如將這段過渡曲線近似看作圓弧，則該近似圓弧的半徑往往偏小而達不到加工要求；如果調節節圓半徑，又受到工件齒頂倒角值和齒根轉變點f點直徑的限制，調節幅度有限而效果甚微。 如將滾刀齒頂作成圓角而不是尖角，則效果可大為改觀。此時，在工件齒根形成了過渡曲線的等距線，該等距線的近似圓弧半徑增大了許多。滾刀齒頂圓角半徑的合理取值可通過圖3進行定量分析。由圖3可知 a1=arctan( yof-ya )
xa-xof
(7)
由圖3還可看出 rc(1-sina1)=hao-yof因此可得 rc= hao-yof
1-sina1
(8)
式中，hao為滾刀齒頂高，可按hao=rj-rf進行計算，其中rf為工件齒根圓半徑。a1為中間計算參數，可由式(7)算出。 將式(8)和式(6)加以合并，可得 rc= rj[1-(sinaf-sinaj)sinaf]-rf
1-sina1
(9)
式中，rc為滾刀齒頂圓角半徑，af為f點嚙合角，可將轉變點f 的半徑代入式(4)算出。 由圖3得知，滾刀齒頂圓角的中心點o1的坐標為 { x01=x0f+rccosa1
y01=y0f-rcsina1
(10)
確定了滾刀齒頂圓角的半徑和圓心坐標后，可按以下方法判斷滾刀齒頂是單圓弧還是雙圓弧：設sno為滾刀法向弧齒厚，則sno應等于工件節圓上齒槽所對應的弧長，即sno=2rj(e-aj)。由圖3中可以看出，如x01<sno/2，則滾刀齒頂由兩段圓弧和一條直線構成。
圖4
圖5
工件齒頂倒角部分對應滾刀齒形的設計 如圖4 所示，滾刀上對應于工件齒頂倒角部分的倒角尺寸可按下式計算： { x=p/2-aj-b
h4=[ecos(b+aj)]/cosb
(11)
式中：e——工件齒頂沿齒側直線方向的長度 b——齒頂倒角與齒側直線延長線的夾角 h4——滾刀齒根部倒角到滾刀節線的垂直距離 x——滾刀倒角與滾刀節線的夾角 滾刀其余參數的設計 滾刀其余參數可按常規方法進行設計。但需說明，滾刀法向齒距tn等于工件節圓的周節，即tn=2prj/z，而滾刀長度應與tn一致。4 工件齒根圓角半徑的驗算設計滾刀時，是按工件直線齒形終點f的直徑來確定滾刀齒頂圓角。滾刀齒頂圓角加工出的延伸漸開線的等距線與工件齒根圓的切點d的位置可按以下方法確定。如圖5 所示，建立坐標系x0o0y0，滾刀齒頂圓角的圓心o1在y0軸上，距x0軸的高度為y01=rj-(rf+rc)。同樣，在工件上也建立坐標系x'oy'，在滾刀的初始位置y'軸與y0軸重合。 設b點為延伸漸開線的等距線上的點，當滾刀節線在工件節圓rj上滾動時，o1點的運動軌跡是以y'軸為對稱軸的延伸漸開線，而b0點的運動軌跡為延伸漸開線的等距線。 當滾刀節線繞工件節圓滾動w角，o1點由延伸漸開線的頂點c移到g點，而b點由延伸漸開線的等距線上的d點移動到f點，則w角可按以下計算取值。 由圖5可得到o1點在x'oy'坐標系中的坐標為 { x01'=( rf+rc)sinw-(rjw)cosw
y01'=(rf+rc)cosw+(rjw)sinw
(12)
p2=x01'2+y01'2=(rf+rc)2+(rjw)2由圖5可見oo12=ok2=gk2=(oe+ek)2+fe2，將oe=rjsinaj，ek=rc，fe2=of2-oe2代入上式得 oo12=rf2+rc2+2rjrcsinaj由于p=oo1，故有 rf2+rc2+2ra rjsinaj=(rf+rc)2+(rjw)2則 w= [rf2-rf2+2rc(rf-rjsinaj)]½
rj
(13)
式中，rf為轉變點f的半徑。從圖中可知 tan(w+q)= |xf|
yf
q=arctan( |xf| )-w
yf
(14)
圖6
設圖5中f點關于y'軸對稱的過渡曲線等距線上的點為f'。過f 點、d 點及f'點可作一近似圓弧，現求這一近似圓弧的半徑r'。如圖6所示，oe'=rfcosq，od=rf，故de'=rfcosq-rf，又因fe'=rfsinq，由勾股定理可得 r'= rf2-2rfrfcosq+rf2
2(rfcosq-rf)
(15)
上式計算的r'應在ri要求的公差范圍內，否則必須調整rf或rf重新進行設計。 對于本例的計算，工件齒根圓取中差，滾刀齒頂為尖角時，其工件齒根過渡曲線的近似圓弧半徑為1.03mm；如果滾刀齒頂增加rc=0.373mm的圓角，則形成的過渡曲線的近似圓弧半徑就增大到1.353mm，滿足ri=1.575±0.25mm的要求。 5 結語本文介紹了加工齒根為定值圓角且齒根圓有公差要求的梯形花鍵所用滾刀的設計方法，該方法的關鍵要點在于確定工件直線齒形終點，分別進行直線齒形和過渡曲線的設計，其重點是確定滾刀齒頂圓角半徑的大小。該方法簡便實用，不僅適用于梯形花鍵滾刀的設計，同樣適用于直邊花鍵和三角花鍵等非漸開線滾刀的設計。
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氨氮的控制方法
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