有效數(shù)字和運算規(guī)則
有效數(shù)字和運算規(guī)則
1有效數(shù)字
為了得到準確的分析結(jié)果，不僅要求準確測量，而且還要求正確地記錄和計算，即記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映測量的**程度。
在科學(xué)實驗中，數(shù)的用途有兩類：
（1）用來數(shù)“數(shù)目”的，如測定次數(shù)、幾個樣品等；
（2）用來表示測量結(jié)果的，這類數(shù)字其末一位或末二位是估計得來的，故具有一定的誤差。
實踐中，測試結(jié)果往往是測幾個量然后計算得出，究竟用幾位數(shù)字表示，是一個重要的問題。例如用分析天平稱得某物體的質(zhì)量為0.5180g，這一數(shù)值中0.518是準確的，*后一位數(shù)字“0”是可疑的，可能有上下一個單位的誤差，即其實際質(zhì)量是0.5180±0.0001g范圍內(nèi)的某一數(shù)值，此時稱量的優(yōu)良誤差是±0.0001g，相對誤差為：
=±0.02%
若將上述稱量結(jié)果寫成0.518g，則意味著該物體的實際質(zhì)量為0.518±0.001g范圍內(nèi)的某一數(shù)值，即優(yōu)良誤差為±0.001g，則相對誤差為±0.2%。可見記錄時在小數(shù)點后面多寫或少寫一位“0”數(shù)字，從數(shù)學(xué)角度看關(guān)系不大，但是記錄所反映的測量**程度無形中夸大或縮小了10倍。所以，在數(shù)據(jù)中代表一定的量的每一個數(shù)字都是重要的。
這種在分析工作中實際能測量到的，有實際意義的數(shù)字（作為定位作用的“0”除外），稱為有效數(shù)字。
“0”有時是有效數(shù)字，如20.05g，1.210g。有時是非有效數(shù)字，如0.0032kg，0.048m，其中的“0”只是與所用單位有關(guān)，與測量精度無關(guān)，可把它們寫成3.2g和48mm。
看看下面各數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)“
1.0008，34185五位有效數(shù)字
0.1007，10.98%四位有效數(shù)字
0.0382，1.98×10-10三位有效數(shù)字
54，0.0040二位有效數(shù)字
0.05，2×105一位有效數(shù)字
3600，100有效數(shù)字位數(shù)不確定
象3600，100這樣的數(shù)字，有效數(shù)字的位數(shù)不確定，可能是二位，三位，甚至是四位。對于這種情況，應(yīng)根據(jù)實際有效數(shù)字位數(shù)寫成3.6×103，3.60×103，3.600×103。應(yīng)當(dāng)注意的是一個有效數(shù)字是一個數(shù)中的任一數(shù)字，它是用來表示數(shù)的大小的。常說讀到小數(shù)點后二位，是指固定某一單位而言，實際就意味著控制有效數(shù)字的位數(shù)，如滴定管讀到小數(shù)點后二位，是指以ml為單位。
2有效數(shù)字的運算規(guī)則
在分析測定過程中，往往要經(jīng)過幾個不同的測量環(huán)節(jié)。例如用減量法稱取樣品，經(jīng)過處理后進行滴定。在此過程中*少要取四次數(shù)據(jù)——稱量瓶加試樣的質(zhì)量，稱量瓶在倒出試樣后的質(zhì)量，滴定管的初讀數(shù)和末讀數(shù)，如果這四個數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同時，則運算結(jié)果也保留相同的有效數(shù)字位數(shù)；若有效數(shù)字位數(shù)各不相同時，則運算時按下列規(guī)則，合理取舍有效數(shù)字位數(shù)。
2.1幾個數(shù)據(jù)相加或相減
幾個數(shù)據(jù)相加或相減時，它們的和或差的有效數(shù)字的保留，應(yīng)以小數(shù)點后位數(shù)*少的數(shù)據(jù)為根據(jù)，即取決于優(yōu)良誤差*大的那個數(shù)據(jù)。例如將0.0121、25.64和1.05782三數(shù)相加其中25.64為優(yōu)良誤差*大的數(shù)據(jù)，所以應(yīng)將計算器顯示的相加結(jié)果26.70992也取到小數(shù)點后**位，修約成26.71。
2.2幾個數(shù)據(jù)乘除運算
在幾個數(shù)據(jù)乘除運算時，所得結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差*大的那個數(shù)，即不超過參加運算的數(shù)字中有效數(shù)字*少的那個數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)。例如下式：
=0.0713
各數(shù)的相對誤差分別為：
0.0325：（±0.0001/0.0325）×100% = ±0.3%
5.103：±0.02%
60.06：±0.02%
139.8：±0.07%
可見，四個數(shù)中相對誤差*大即準確度*差的是0.0325，是三位有效數(shù)字。因此計算結(jié)果也應(yīng)取三位有效數(shù)字0.0713。如果把計算得到的0.0712504作為答數(shù)就不對了，因為0.071254的相對誤差為±0.0001%，而在測量中沒有達到如此高的準確程度。
在取舍有效數(shù)字位數(shù)時，還應(yīng)注意以下幾點：
（1）在分析化學(xué)計算中，經(jīng)常會遇到一些分數(shù)，如i2與na2s2o3反應(yīng)，其摩爾比為1 ：2，因而n（i2）= n（na2s2o3）（n為物質(zhì)的量，單位為mol），這里的2是計數(shù)量，可視為足夠有效，它的有效數(shù)字不是一位，即不能根據(jù)它來確定計算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。又如從250ml的容量瓶中吸取25ml試液時，也不能根據(jù)25/250只有二位和三位數(shù)來確定分析結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。
（2）若某一數(shù)據(jù)**位有效數(shù)字大于或等于8，則有效數(shù)字的位數(shù)可以多算一位，如8.37雖然只三位，但可看作四位有效數(shù)字。
（3）在計算過程中，可以暫時多保留一位數(shù)字，得到*后結(jié)果時再根據(jù)四舍五入原則棄去多余的數(shù)字。
有時，如在試驗全分析中，也有采用“四舍六入五留雙”的原則處理數(shù)據(jù)尾數(shù)的。即當(dāng)尾數(shù)≤4時將其舍去，尾數(shù)≥6時進位；而當(dāng)末位數(shù)恰為5時，則看保留下來的末位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，是奇數(shù)時就將5進位，是偶數(shù)時，則將5舍去，總之，使保留下來的末位數(shù)為偶數(shù)。根據(jù)此原則，如將4.175和4.165處理成三位時，則結(jié)果分別為4.18和4.16。
（4）有關(guān)化學(xué)平衡的計算（如求平衡狀態(tài)下某離子的濃度），一般保留二位或三位有效數(shù)字。因為ph值為[h+]的負對數(shù)，所以ph值的小數(shù)部分才為有效數(shù)字，通常只需取一位或二位有效數(shù)字即可，如4.37、6.5、10.0。
大多數(shù)情況下，表示誤差時，取一位有效數(shù)字即已足夠，*多取二位。
使用計算器計算定量分析結(jié)果，特別要注意*后結(jié)果中有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)前述規(guī)則決定取舍，不可全部照抄計算器上顯示的八位數(shù)字或十位數(shù)字。
第七節(jié)水質(zhì)分析結(jié)果的校核
對于水質(zhì)分析的結(jié)果和使用水質(zhì)分析數(shù)據(jù)時可根據(jù)水中各成分間的相互關(guān)系進行校核。檢查是否符合水質(zhì)組成的一般規(guī)律，從而判斷分析數(shù)據(jù)是否正確。校核的主要內(nèi)容如下。
1陽陰離子電荷總數(shù)的校核
按照電中性原則，水中陽離子正電荷總數(shù)等于陰離子負電荷總數(shù)，即
∑k = ∑a
∑k = k+ + 2k2++ 3k3+
∑a = a- + 2a2-+ 3a3-
δ =×100%≤±2%（6-11）
式中k+、k2+、k3+——分別表示水中1價、2價和3價陽離子的物質(zhì)的量濃度，mmol/l；
a-、a2-、a3——-分別表示水中1價、2價和3價陰離子的物質(zhì)的量濃度，mmol/l；
δ——陽陰離子電荷總數(shù)之間的允許差值。
計算各種弱酸、弱堿陰陽離子時，因它們的存在狀態(tài)與ph值有關(guān)，因此應(yīng)查找有關(guān)圖表進行校正。
2含鹽量與溶解固體的校核
含鹽量 =∑k1 + ∑a1
rg，=（sio2）全+r2o3 + ∑k1 +∑a1 - hco3-
δ =×100%（6-12）
式中∑k1——原水中除鐵、鋁離子外的陽離子含量總和，mg/l；
∑a1——原水中除二氧化硅外的陰離子含量總和，mg/l；
rg——原水中溶解固體的實測值，mg/l；
rg，，——原水中溶解固體的計算值，mg/l；
（sio2）全——水樣中全硅含量（經(jīng)過濾測定），mg/l；
δ——溶解固體的實測值與溶解固體的計算值之間的允許差值。對于含鹽量<100mg/l的水樣，δ的優(yōu)良值≤10%是允許的；對于含鹽量>100mg/l的水樣，δ的優(yōu)良值≤5%是允許的。
3ph的校核
對于ph<8.3的水樣，其ph可根據(jù)水樣中的全堿度和游離二氧化碳的含量進行近似計算而得出。
ph，= 6.37 + lg[hco3-] -lg[co2]（6-13）
δ = ph -ph，（6-14）
式中ph——原水ph的實測值；
ph，——原水ph的計算值；
[hco3-]——原水中重碳酸根濃度，mmol/l；
[co2]——原水中游離二氧化碳濃度，mmol/l；
δ——原水ph的實測值與原水ph的計算值的差值，δ優(yōu)良值≤0.2是允許的。
4總硬度、堿度、離子間關(guān)系的校核
總硬度（yd總）為碳酸鹽硬度（yd碳）與非碳酸鹽硬度（yd非）之和。
yd總 = yd碳 +yd非（6-15）
（1）當(dāng)有非碳酸鹽硬度時，應(yīng)沒有負硬度存在，此時c（cl-）+c（ so42-）>c（k+）+ c（na+）。總硬度 >總堿度。
（2）當(dāng)有負硬度存在時，應(yīng)沒有非碳酸鹽硬度存在，此時yd總 =yd碳，負硬度 = 總堿度-總硬度。
c（ca2+）+ c（mg2+）<c（hco3-）（6-16）
c（cl-）+ c（ so42-）≤c（k+）+c（na+）（6-17）
（3）鈣、鎂離子總和等于總硬度。
如上述計算和實測值相差較大，一般可認為總硬度和鈣值分析是正確的，據(jù)次修正鎂值。此外，在一般清水中，鈣含量皆大于鎂含量，甚至?xí)蟪鰩妆叮绻l(fā)現(xiàn)相反現(xiàn)象，應(yīng)注意檢查校正。
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1有效數(shù)字
為了得到準確的分析結(jié)果，不僅要求準確測量，而且還要求正確地記錄和計算，即記錄的數(shù)字不僅表示數(shù)量的大小，而且要正確地反映測量的**程度。
在科學(xué)實驗中，數(shù)的用途有兩類：
（1）用來數(shù)“數(shù)目”的，如測定次數(shù)、幾個樣品等；
（2）用來表示測量結(jié)果的，這類數(shù)字其末一位或末二位是估計得來的，故具有一定的誤差。
實踐中，測試結(jié)果往往是測幾個量然后計算得出，究竟用幾位數(shù)字表示，是一個重要的問題。例如用分析天平稱得某物體的質(zhì)量為0.5180g，這一數(shù)值中0.518是準確的，*后一位數(shù)字“0”是可疑的，可能有上下一個單位的誤差，即其實際質(zhì)量是0.5180±0.0001g范圍內(nèi)的某一數(shù)值，此時稱量的優(yōu)良誤差是±0.0001g，相對誤差為：
=±0.02%
若將上述稱量結(jié)果寫成0.518g，則意味著該物體的實際質(zhì)量為0.518±0.001g范圍內(nèi)的某一數(shù)值，即優(yōu)良誤差為±0.001g，則相對誤差為±0.2%。可見記錄時在小數(shù)點后面多寫或少寫一位“0”數(shù)字，從數(shù)學(xué)角度看關(guān)系不大，但是記錄所反映的測量**程度無形中夸大或縮小了10倍。所以，在數(shù)據(jù)中代表一定的量的每一個數(shù)字都是重要的。
這種在分析工作中實際能測量到的，有實際意義的數(shù)字（作為定位作用的“0”除外），稱為有效數(shù)字。
“0”有時是有效數(shù)字，如20.05g，1.210g。有時是非有效數(shù)字，如0.0032kg，0.048m，其中的“0”只是與所用單位有關(guān)，與測量精度無關(guān)，可把它們寫成3.2g和48mm。
看看下面各數(shù)字的有效數(shù)字位數(shù)“
1.0008，34185五位有效數(shù)字
0.1007，10.98%四位有效數(shù)字
0.0382，1.98×10-10三位有效數(shù)字
54，0.0040二位有效數(shù)字
0.05，2×105一位有效數(shù)字
3600，100有效數(shù)字位數(shù)不確定
象3600，100這樣的數(shù)字，有效數(shù)字的位數(shù)不確定，可能是二位，三位，甚至是四位。對于這種情況，應(yīng)根據(jù)實際有效數(shù)字位數(shù)寫成3.6×103，3.60×103，3.600×103。應(yīng)當(dāng)注意的是一個有效數(shù)字是一個數(shù)中的任一數(shù)字，它是用來表示數(shù)的大小的。常說讀到小數(shù)點后二位，是指固定某一單位而言，實際就意味著控制有效數(shù)字的位數(shù)，如滴定管讀到小數(shù)點后二位，是指以ml為單位。
2有效數(shù)字的運算規(guī)則
在分析測定過程中，往往要經(jīng)過幾個不同的測量環(huán)節(jié)。例如用減量法稱取樣品，經(jīng)過處理后進行滴定。在此過程中*少要取四次數(shù)據(jù)——稱量瓶加試樣的質(zhì)量，稱量瓶在倒出試樣后的質(zhì)量，滴定管的初讀數(shù)和末讀數(shù)，如果這四個數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相同時，則運算結(jié)果也保留相同的有效數(shù)字位數(shù)；若有效數(shù)字位數(shù)各不相同時，則運算時按下列規(guī)則，合理取舍有效數(shù)字位數(shù)。
2.1幾個數(shù)據(jù)相加或相減
幾個數(shù)據(jù)相加或相減時，它們的和或差的有效數(shù)字的保留，應(yīng)以小數(shù)點后位數(shù)*少的數(shù)據(jù)為根據(jù)，即取決于優(yōu)良誤差*大的那個數(shù)據(jù)。例如將0.0121、25.64和1.05782三數(shù)相加其中25.64為優(yōu)良誤差*大的數(shù)據(jù)，所以應(yīng)將計算器顯示的相加結(jié)果26.70992也取到小數(shù)點后**位，修約成26.71。
2.2幾個數(shù)據(jù)乘除運算
在幾個數(shù)據(jù)乘除運算時，所得結(jié)果的有效數(shù)字的位數(shù)取決于相對誤差*大的那個數(shù)，即不超過參加運算的數(shù)字中有效數(shù)字*少的那個數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)。例如下式：
=0.0713
各數(shù)的相對誤差分別為：
0.0325：（±0.0001/0.0325）×100% = ±0.3%
5.103：±0.02%
60.06：±0.02%
139.8：±0.07%
可見，四個數(shù)中相對誤差*大即準確度*差的是0.0325，是三位有效數(shù)字。因此計算結(jié)果也應(yīng)取三位有效數(shù)字0.0713。如果把計算得到的0.0712504作為答數(shù)就不對了，因為0.071254的相對誤差為±0.0001%，而在測量中沒有達到如此高的準確程度。
在取舍有效數(shù)字位數(shù)時，還應(yīng)注意以下幾點：
（1）在分析化學(xué)計算中，經(jīng)常會遇到一些分數(shù)，如i2與na2s2o3反應(yīng)，其摩爾比為1 ：2，因而n（i2）= n（na2s2o3）（n為物質(zhì)的量，單位為mol），這里的2是計數(shù)量，可視為足夠有效，它的有效數(shù)字不是一位，即不能根據(jù)它來確定計算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。又如從250ml的容量瓶中吸取25ml試液時，也不能根據(jù)25/250只有二位和三位數(shù)來確定分析結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。
（2）若某一數(shù)據(jù)**位有效數(shù)字大于或等于8，則有效數(shù)字的位數(shù)可以多算一位，如8.37雖然只三位，但可看作四位有效數(shù)字。
（3）在計算過程中，可以暫時多保留一位數(shù)字，得到*后結(jié)果時再根據(jù)四舍五入原則棄去多余的數(shù)字。
有時，如在試驗全分析中，也有采用“四舍六入五留雙”的原則處理數(shù)據(jù)尾數(shù)的。即當(dāng)尾數(shù)≤4時將其舍去，尾數(shù)≥6時進位；而當(dāng)末位數(shù)恰為5時，則看保留下來的末位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，是奇數(shù)時就將5進位，是偶數(shù)時，則將5舍去，總之，使保留下來的末位數(shù)為偶數(shù)。根據(jù)此原則，如將4.175和4.165處理成三位時，則結(jié)果分別為4.18和4.16。
（4）有關(guān)化學(xué)平衡的計算（如求平衡狀態(tài)下某離子的濃度），一般保留二位或三位有效數(shù)字。因為ph值為[h+]的負對數(shù)，所以ph值的小數(shù)部分才為有效數(shù)字，通常只需取一位或二位有效數(shù)字即可，如4.37、6.5、10.0。
大多數(shù)情況下，表示誤差時，取一位有效數(shù)字即已足夠，*多取二位。
使用計算器計算定量分析結(jié)果，特別要注意*后結(jié)果中有效數(shù)字的位數(shù)，應(yīng)根據(jù)前述規(guī)則決定取舍，不可全部照抄計算器上顯示的八位數(shù)字或十位數(shù)字。
第七節(jié)水質(zhì)分析結(jié)果的校核
對于水質(zhì)分析的結(jié)果和使用水質(zhì)分析數(shù)據(jù)時可根據(jù)水中各成分間的相互關(guān)系進行校核。檢查是否符合水質(zhì)組成的一般規(guī)律，從而判斷分析數(shù)據(jù)是否正確。校核的主要內(nèi)容如下。
1陽陰離子電荷總數(shù)的校核
按照電中性原則，水中陽離子正電荷總數(shù)等于陰離子負電荷總數(shù)，即
∑k = ∑a
∑k = k+ + 2k2++ 3k3+
∑a = a- + 2a2-+ 3a3-
δ =×100%≤±2%（6-11）
式中k+、k2+、k3+——分別表示水中1價、2價和3價陽離子的物質(zhì)的量濃度，mmol/l；
a-、a2-、a3——-分別表示水中1價、2價和3價陰離子的物質(zhì)的量濃度，mmol/l；
δ——陽陰離子電荷總數(shù)之間的允許差值。
計算各種弱酸、弱堿陰陽離子時，因它們的存在狀態(tài)與ph值有關(guān)，因此應(yīng)查找有關(guān)圖表進行校正。
2含鹽量與溶解固體的校核
含鹽量 =∑k1 + ∑a1
rg，=（sio2）全+r2o3 + ∑k1 +∑a1 - hco3-
δ =×100%（6-12）
式中∑k1——原水中除鐵、鋁離子外的陽離子含量總和，mg/l；
∑a1——原水中除二氧化硅外的陰離子含量總和，mg/l；
rg——原水中溶解固體的實測值，mg/l；
rg，，——原水中溶解固體的計算值，mg/l；
（sio2）全——水樣中全硅含量（經(jīng)過濾測定），mg/l；
δ——溶解固體的實測值與溶解固體的計算值之間的允許差值。對于含鹽量<100mg/l的水樣，δ的優(yōu)良值≤10%是允許的；對于含鹽量>100mg/l的水樣，δ的優(yōu)良值≤5%是允許的。
3ph的校核
對于ph<8.3的水樣，其ph可根據(jù)水樣中的全堿度和游離二氧化碳的含量進行近似計算而得出。
ph，= 6.37 + lg[hco3-] -lg[co2]（6-13）
δ = ph -ph，（6-14）
式中ph——原水ph的實測值；
ph，——原水ph的計算值；
[hco3-]——原水中重碳酸根濃度，mmol/l；
[co2]——原水中游離二氧化碳濃度，mmol/l；
δ——原水ph的實測值與原水ph的計算值的差值，δ優(yōu)良值≤0.2是允許的。
4總硬度、堿度、離子間關(guān)系的校核
總硬度（yd總）為碳酸鹽硬度（yd碳）與非碳酸鹽硬度（yd非）之和。
yd總 = yd碳 +yd非（6-15）
（1）當(dāng)有非碳酸鹽硬度時，應(yīng)沒有負硬度存在，此時c（cl-）+c（ so42-）>c（k+）+ c（na+）。總硬度 >總堿度。
（2）當(dāng)有負硬度存在時，應(yīng)沒有非碳酸鹽硬度存在，此時yd總 =yd碳，負硬度 = 總堿度-總硬度。
c（ca2+）+ c（mg2+）<c（hco3-）（6-16）
c（cl-）+ c（ so42-）≤c（k+）+c（na+）（6-17）
（3）鈣、鎂離子總和等于總硬度。
如上述計算和實測值相差較大，一般可認為總硬度和鈣值分析是正確的，據(jù)次修正鎂值。此外，在一般清水中，鈣含量皆大于鎂含量，甚至?xí)蟪鰩妆叮绻l(fā)現(xiàn)相反現(xiàn)象，應(yīng)注意檢查校正。
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